令和６年度第2回試験 基礎科目第３問の過去問解説です。
問３（１） ベン図
図１～図５に示すベン図において、Ａ、Ｂ及びＣが、それぞれの円の内部を表すとき、斜線部分を示す論理式がＡ･Ｂ･Ｃ＋Ａ･Ｂ･Ｃ と表すことができるベン図は、(ア)である。(５点)
① 図１ ② 図２ ③ 図３ ④ 図４ ⑤図５
出典：令和6年度第2回第3問(1)
解答
④
解説
\(A\cdot \overline{B\cdot C}\)が表している部分
\(\cdot\)は論理積で、共通部分を意味しています。
イメージとしては、論理積でつながると、要素がどんどん絞り込まれていく形になります。
\(A\cdot \overline{B\cdot C}\) は、円Aの内部で、かつBとCの共通部分以外のところを表しています。
ここで、\(B\cdot C\) に該当する部分は、\(B\cdot C\) と\(A\cdot B\cdot C\) とになります。その中で、円Aとの共通要素になりますので、\(A\cdot B\cdot C\) が該当します。
論理式にバーがついていますので、\(A\cdot B\cdot C\) 以外のところ、かつ、円Aの要素となります。上の図にオレンジで色付けしたところが求める要素となります。
この時点で、正解の選択肢が図３と図４に絞られます。
\(\overline{A\cdot B}\cdot C\)が表している部分
\(A\cdot \overline{B\cdot C}\) は、円Cの内部で、かつAとBの共通部分以外のところを表しています。
ここで、\(A\cdot B\) に該当する部分は、\(A\cdot B\) と\(A\cdot B\cdot C\) とになります。その中で、円Cとの共通要素になりますので、\(A\cdot B\cdot C\) が該当します。
論理式にバーがついていますので、\(A\cdot B\cdot C\) 以外のところ、かつ、円Cの要素となりますので、上の図にグリーンで色付けしたところが求める要素となります。
この時点で、正解の選択肢が図４に絞られます。
参考資料
該当ページ 69
該当ページ 98
問３（２） ２進数の乗算から１６進数
表に示す２進数の\(X_1、X_2\) を用いて、計算式(乗算)\(X_0＝X_1\times X_2\) から \(X_0\) を求め、これを１６進数で表すと、(イ)になる。(５点)
① ＢＦ ②CＢ ③ １２Ｆ ④ １３Ｅ ⑤ １３Ｆ
| 2進数 |
| \(X_1=11101\) |
| \(X_2= 1011\) |
出典：令和6年度第2回第3問(2)
解答
⑤
解説
解き方はいろいろありますが、ここでは、２進数→１０進数に変換。計算をしたうえで１６進数に変換。という手順で解説を進めていきます。
２進数を１０進数に変換する
２進数を１０進数に変換する際のポイントは、右の位から順に\(2^0=1, \quad 2^1=2, \quad 2^2=4,\quad 2^3=8, \quad 2^4=16\)・・・として、１が入っているところの数字を足していきます。（上の図をご参照ください）
その結果、\(X_1=29, \ X_2=11\)と１０進数に変換できました。
\(X_1\times X_2\)を計算
上図のとおり、計算結果は319となりました。
（ ）10と書いているのは、10進数で表しているということを示しています。
次に、319を16進数に変換していきます。
319を16進数に変換
16進数に変換するには「すだれ算」という方法を使います。
割り算記号を逆にしたような形が「すだれ」に似ていることから、「すだれ算」という俗称がついています。
見た目は特殊ですが、計算方法は基本的な割り算と同じです。
319を16で割っていきます。
注意する点として、割り算の商を下に、あまりを右に記入します。
割り算を、商が０になるまで繰り返します。
そして、変換するときに使用するのは、「あまり」の部分です。
あまりを下から順に並べるのがポイントです。
本問では、1,3,15となりました。
０～９までの数字はそのまま使えますが、10～15に該当する数字はアルファベットに変換する必要があります。
10＝A、１１＝B、１２＝C、１３＝D、１４＝E、１５＝F となります。
本問では、15がありますので、これをＦに変換します。
結果、１３Ｆとなりました。これで変換終了です。
参考資料
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該当ページ 94
問３（３） 論理回路（フリップフロップ）
図６に示す論理回路は、ＮＯＲゲートによるフリップフロップ回路である。入力ａ及びｂに図7に示す入力がある場合、図６の出力ｄは、図７の出力のうち(ウ)である。 (５点)
① ｄ１ ② ｄ２ ③ ｄ３ ④ ｄ４ ⑤ｄ５ ⑥ ｄ６
出典：令和6年度第2回第3問(3)
解答
④
解説
本問は図７の入出力のグラフの見方が最初のポイントになります。
グラフを縦に見て、入出力の関係を確認します。
まず１列目（下の図で黄色マーカー部）を見ると、入力a=0、ｂ＝０となっています。
これを論理回路に書き込んでいきます。
EX-ORは、２つの入力が同じ値（０と０または１と１）の場合に出力が０、異なる値（０と１）の場合に出力が１となります。
フリップフロップ回路は、出力を「仮定」して考える
本問では論理回路の最後にフリップフロップ回路があります。
入力を追っていくだけでは、フリップフロップ回路の入出力関係がわかりません。
フリップフロップ回路は組み合わせにより入出力の関係を暗記する方法もありますが、暗記せずとも、入出力を「仮定」して考えることで正しい組み合わせを見つけることができます。
緑で数字を書きこんだところが、仮定したところです。
まず、下のNOR回路の「１」の出力を仮定します。
その「１」は、上のNOR回路の入力となります。
上のNOR回路の入力は０と１となり、出力は０となります。
（NOR回路はOR回路＋NOT回路で、OR回路の結果を否定したものと考えると覚えやすいです）
上のNOR回路の出力は０となり、それが下のNOR回路の入力となります。
そうすると下のNOR回路の出力は０となるはずです。
このことは、先に仮定した「１」の出力と矛盾します。
このことから、下のNOR回路の出力は「０」とわかります。
時間的に余裕があれば実際に０の出力を仮定して検証してもよいのですが、実戦的には「１が矛盾する→０で確定」という流れになるかと思います。
そして、下のNOR回路の出力が「０」ということは、出力ｄは「0」とわかります。
入出力関係からグラフを見ると、d3,d5,d6は消去できます。
次に２列目の入出力関係（a=0,b=1)を確認します。
2列目の検証
a=0,b=1を入力して論理回路に書き込んでいきます。
最後のフリップフロップ回路部分は、先ほどと同様に仮定して考えます。
先ほどは上のNOR回路入力が０、下のNOR回路入力が１のとき出力が０でした。
今回は上のNOR回路入力が1、下のNOR回路入力が0となっています。
先ほどとは異なる出力ではないかと考え、１を仮定してみました。
結果が矛盾しないことから、出力は１で確定。
結果、出力ｄも１とわかります。
※繰り返しになりますが、仮定に関しては、０と１どちらを検証しても構いません。
結局のところ、０と１しかありませんので、矛盾しなければそれが答え。
矛盾すれば異なる値が答えとなります。
グラフを確認すると、d2とd4に絞り込むことができました。
次に３列目ですが、d2、d4ともに同じ結果（１）を示しています。
つまり、３列目を検証しても答えを絞り込むことはできまないということです。このことから、３列目の検証はスキップします。
４列目の検証に移ります。
４列目の検証（a=1,b=1)
a=1,b=1を入力して論理回路を追っていきます。
最後のフリップフロップ回路ですが、上に０、下に１の入力があるという条件は１列目のときと同じです。
このことから、下のNOR回路の出力は０とわかります。念のため検証しておき、矛盾しないことを確認しておきます。
以上から出力ｄ＝０とわかります。
残った選択肢はd2とd4ですから、これを確認するとd4が正解とわかります。
参考資料
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該当ページ 57
該当ページ 102
問３（４） ブール代数
次の論理関数Ｘは、ブール代数の公式等を利用して変形し、簡単にすると、 (エ)になる。
\(Ｘ＝\overline{ A }\cdot B＋A\cdot \overline{ B }+A\cdot B\cdot(\overline{ B }\cdot C＋\overline{ A }\cdot \overline{ C }＋\overline{ A }\cdot C＋\overline{ B }\cdot C)\)(５点)
出典：令和6年度第2回第3問(4)
解答
⑤
解説
本問は一見難しそうに見えますが、あるポイントに気づくことができれば、簡単に解くことができます。
式右側の（ ）の展開部分に着目すると、\(B \cdot \overline{B}\) と\(A \cdot \overline{A}\) の部分は、それぞれ０になります（相補性）。
そして、０になにをかけても０になるのと同じように、０との論理積は０になります。
結果、次のようになります。
最後は交換測により、\(\overline{A} \cdot B+A \cdot \overline{B}\) を \(A \cdot \overline{B}+\overline{A} \cdot B\) と、選択肢にあうように書き換えて終了です。
参考資料
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該当ページ 64
該当ページ 100
基礎第３問の解説は以上です。ここまでお読みいただき、ありがとうございます。
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